问答题
已知A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，…，α
s
是n维线性无关向量组，若Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．证明：A不可逆．
【正确答案】正确答案：因Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关，故存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
s
，使得 k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
s
Aα
s
=0， 即 A(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
)=Aξ=0． 其中ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
．因已知α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，故对任意不全为零的k
1
，k
2
，…，k
s
，有 ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
≠0， 而 Aξ=0． 说明线性方程组AX=0有非零解，从而|A|=0，A是不可逆矩阵．
【答案解析】