设向量组α
1
=(1，1，1，3)
T
，α
2
=(一1，一3，5，1)
T
，α
3
=(3，2，一1，n+2)
T
．α
4
=(一2，一6，10，α)
T
．
(1)α为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)
T
用α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表出；
(2)α为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组．
【正确答案】正确答案：对矩阵A=[α
1
α
2
α
3
α
4
∣ α]作初等行变换，化为阶梯形：
(1)当a≠2时，矩阵A=[α
1
α
2
α
3
α
4
]的秩为4，即向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．此时设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α，解得(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)=
，即有
(1)当a≠2时，矩阵A=[α
1
α
2
α
3
α
4
]的秩为4，即向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．此时设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α，解得(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)=
，即有
【答案解析】