选择题   设f(x)在[a，b]上可导，f'(a)f'(b)＜0．下述命题：
    ①至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)；
    ②至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(b)；
    ③至少存在一点x0∈(a，b)使f'(x0)=0；
    ④至少存在一点x0∈(a，b)使[*]
    正确的个数为______
 
【正确答案】 A
【答案解析】 只有③是正确的．其证明如下：设f'(a)＜0，f'(b)＞0．
   [*]，以及保号性，则存在点x1∈(a，b)使f(x1)-f(a)＜0及x2∈(a，b)使f(x2) -f(b)＜0．因此f(a)与f(b)都不是f(x)在[a，b]上的最小值，从而f(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内部，故知存在x0∈(a，b)使f'(x0)=0．若f'(a)＞0，f'(b)＜0，其证明类似．
   ①，②与④的反例：f(x)=x2-x，当x∈[0，1]时，有f'(0)=-1，f'(1)=1，f'(0)f'(1)＜0．但当x∈(0，1)时，f(x)＜f(0)=f(1)=0．