解答题
25.设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：
(b－a)f(
)≤
f(x)dx≤
(b－a)f(
)≤f(x)dx≤
【正确答案】由泰勒公式得f(x)＝f(
)＋f’(
)(x－
)＋
(x－
)2，其
中ξ介于x与
之间，因为f”(x)≥0，所以有f(x)≥f(
)＋f’(
)(x－
)，
两边积分得
f(x)dx≥(b－a)f(
)．
令φ(x)＝
[f(x)＋f(a)]－
f(t)dt，且φ(a)＝0，
φ’(x)＝
[f(x)＋f(a)]＋
f’(x)－f(x)＝
f’(x)－
[f(x)－f(a)]
＝
(x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x，
因为f”(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥O(a≤x≤b)，
由
得φ(b)≥0，于是
f(x)dx≤
[f(a)＋f(b)]，
故(b－a)f(
)≤
f(x)dx≤
)＋f’()(x－)＋(x－)2，其中ξ介于x与
之间，因为f”(x)≥0，所以有f(x)≥f()＋f’()(x－)，两边积分得
f(x)dx≥(b－a)f()．令φ(x)＝
[f(x)＋f(a)]－f(t)dt，且φ(a)＝0，φ’(x)＝
[f(x)＋f(a)]＋f’(x)－f(x)＝f’(x)－[f(x)－f(a)]＝
(x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x，因为f”(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥O(a≤x≤b)，
由
得φ(b)≥0，于是f(x)dx≤[f(a)＋f(b)]，故(b－a)f(
)≤f(x)dx≤【答案解析】