问答题
设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值． 证明：(1)若AB=BA，则B相似于对角矩阵； (2)若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA．
【正确答案】正确答案：设λ
1
，λ
2
，…，λ
n
为A的n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关特征向量p
1
，p
2
，…，p
n
，记可逆矩阵P=[p
1
，p
2
，…，p
n
]，有
(1)由AB=BA得P
-1
ABP=P
-1
BAP，于是P
-1
AEBP=P
-1
BEAP． 令E=PP
-1
，有 (P
-1
AP)(P
-1
BP)=(P
-1
BP)(P
-1
AP)， 即 A
1
(P
-1
BP)=(P
-1
BP)A
1
． 下面证明P
-1
BP是对角矩阵． 设P
-1
BP=(c
ij
)
n×n
，则
比较两边对应元素得 λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
(λ
i
一λ
j
)c
ij
=0， 当i≠j时，λ
i
≠λ
j
，则c
ij
=0，故
从而B相似于对角矩阵． (2)若p
i
(i=1，2，…，n)也是B的特征向量，设对应特征值为μ
i
，即 Bp
i
=μ
i
p
i
(i=1，2，…，n)， 则有
(1)由AB=BA得P
-1
ABP=P
-1
BAP，于是P
-1
AEBP=P
-1
BEAP． 令E=PP
-1
，有 (P
-1
AP)(P
-1
BP)=(P
-1
BP)(P
-1
AP)， 即 A
1
(P
-1
BP)=(P
-1
BP)A
1
． 下面证明P
-1
BP是对角矩阵． 设P
-1
BP=(c
ij
)
n×n
，则
比较两边对应元素得 λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
(λ
i
一λ
j
)c
ij
=0， 当i≠j时，λ
i
≠λ
j
，则c
ij
=0，故
从而B相似于对角矩阵． (2)若p
i
(i=1，2，…，n)也是B的特征向量，设对应特征值为μ
i
，即 Bp
i
=μ
i
p
i
(i=1，2，…，n)， 则有
【答案解析】