【正确答案】 先将φ(x)=arctanx按麦克劳林公式展开至n=7．有φ(0)=0，φ″(0)=0．由有φˊ(x)(1+x²)=1，记φˊ(x)=g(x)，得
g(x)(1+x²)=1．
将上式两边对x求n阶导数，由莱布尼茨高阶导数公式，有
g⁽ⁿ⁾(x)(1+x²)+C_n¹g^(n－1)(x)·2x+C_n²g^(n－2)(x)·2=0，n=2，3，…，
以x=0代入，得
g⁽ⁿ⁾(0)+n(n－1)g^(n－2)(0)=0
g⁽ⁿ⁾(0)=－n(n－1)g^(n－2)(0)
即φ⁽ⁿ⁺¹⁾(0)=－n(n－1)φ^(n－1)(0)n=2，3，…．
由于已有φ(0)=0，φˊ(0)=1，φ″(0)=0，再由递推公式(*)得
φ"' (0)=－2φˊ(0)=－2，φ⁽⁴⁾(0)=0，
φ⁽⁵⁾(0)=－12φ"' (0)=24，φ⁽⁶⁾(0)=0，
φ⁽⁷⁾(0)=－30φ⁽⁵⁾(0)=－720．

要使n尽可能的大，并使上述极限存在且不为零，先令

试之，得的分子中x⁷的系数，得

取n=7，上式成为