问答题
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，已知E
m
+AB可逆．
问答题
验证E
n
+BA可逆，且(E
n
+BA)
－1
=E
n
－B(E
m
+AB)
－1
A；
【正确答案】正确答案：在不存在歧义的情况下，简化记号，省略E的下标m，n． 因 (E+BA)[E－B(E+AB)
－1
A] =E+BA－B(E+AB)
－1
A－BAB(E+AB)
－1
A =E+BA－B(E+AB)(E+AB)
－1
A=E+BA－BA=E． 故E+BA可逆，且(E+BA)
－1
=E－B(E+AB)
－1
A．
【答案解析】
问答题
设
【正确答案】正确答案：
=E+[a
1
，a
2
，a
3
][b
1
，b
2
，b
3
]
E+AB． 由(1)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA)
－1
=E－B(E+AB)
－1
A，反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB)
－1
=E－A(E+BA)
－1
B． 因为E+BA=E+[b
1
，b
2
，b
3
][a
1
，a
2
，a
3
]
T
=E+[a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
]=E+O=E， 故E+BA可逆，(E+BA)
－1
=E． 故W=E+AB可逆，且 W
－1
=E－A(E+BA)
－1
B=E－[a
1
，a
2
，a
3
]
T
.E.[b
1
，b
2
，b
3
]
=E+[a
1
，a
2
，a
3
][b
1
，b
2
，b
3
]
E+AB． 由(1)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA)
－1
=E－B(E+AB)
－1
A，反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB)
－1
=E－A(E+BA)
－1
B． 因为E+BA=E+[b
1
，b
2
，b
3
][a
1
，a
2
，a
3
]
T
=E+[a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
]=E+O=E， 故E+BA可逆，(E+BA)
－1
=E． 故W=E+AB可逆，且 W
－1
=E－A(E+BA)
－1
B=E－[a
1
，a
2
，a
3
]
T
.E.[b
1
，b
2
，b
3
]
【答案解析】