选择题
9.[2004] 设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F′(2)等于( )．
【正确答案】
B
【答案解析】 调换积分次序，消除被积函数(内层积分)中的求导变量t，再求导．
解一 由于二次积分的内层积分与求导变量t有关，不能直接对其求导．应先交换积分次序，然后再求导．如图1．3．3．1所示，由原二次积分易求得其积分区域为
D={(x，y)∣1≤y≤x，y≤x≤t)
={(x，y)∣1≤x≤t，1≤y≤x}．
交换积分次序，得到
F (t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1tf(x)dx∫1xdy
=∫1t(x一1)f(x)dx，
因而F′(t)=f(t)(t一1)，于是F′(2)=f(2)．仅(B)入选．
解二 特别地，f(x)取具体函数f(x)=l满足题设的条件，则
F(t)=∫1tdy∫ytldx=∫1t(t－y)dy=一
(t－y)2∣1t=
解一 由于二次积分的内层积分与求导变量t有关，不能直接对其求导．应先交换积分次序，然后再求导．如图1．3．3．1所示，由原二次积分易求得其积分区域为
D={(x，y)∣1≤y≤x，y≤x≤t)
={(x，y)∣1≤x≤t，1≤y≤x}．
交换积分次序，得到
F (t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1tf(x)dx∫1xdy
=∫1t(x一1)f(x)dx，
因而F′(t)=f(t)(t一1)，于是F′(2)=f(2)．仅(B)入选．
解二 特别地，f(x)取具体函数f(x)=l满足题设的条件，则
F(t)=∫1tdy∫ytldx=∫1t(t－y)dy=一
(t－y)2∣1t=