解答题
4.若矩阵A=
【正确答案】由A的特征多项式
=(λ一6)(λ2—4λ一 12)=(λ一 6)2(λ+2)
得A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2．
因为A只有一个重特征值6(二重)，所以，A可对角化
对应于特征值6的线性无关特征向量有2个
齐次方程组(6E一A)x=0的基础解系含2个向量
3一秩(6E一A)=2
秩(6E一A)=1
从而由
知a=0，且由此可得对应于λ1=λ2=6的两个线性无关特征向量可取为
对于特征值λ3=一2，由
得对应的一个特征向量可取为ξ3=(1，一2，0)T．
于是ξ1，ξ2，ξ3就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵
P=[ξ1，ξ2，ξ3]=
则P可逆，且使P一1AP=
=(λ一6)(λ2—4λ一 12)=(λ一 6)2(λ+2)
得A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2．
因为A只有一个重特征值6(二重)，所以，A可对角化
对应于特征值6的线性无关特征向量有2个齐次方程组(6E一A)x=0的基础解系含2个向量3一秩(6E一A)=2秩(6E一A)=1从而由
知a=0，且由此可得对应于λ1=λ2=6的两个线性无关特征向量可取为
对于特征值λ3=一2，由
得对应的一个特征向量可取为ξ3=(1，一2，0)T．
于是ξ1，ξ2，ξ3就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵
P=[ξ1，ξ2，ξ3]=
则P可逆，且使P一1AP=
【答案解析】