问答题
(1)设f(x)在[a，b]上非负连续且不恒为零，证明必有
∫
a
b
f(x)dx＞0；
(2)是否存在[0，2]上的可导函数f(x)，满足
f(0)=f(2)=1，｜f'(x)｜≤1，｜∫
0
2
f(x)dx｜≤1，
并说明理由．
【正确答案】正确答案：由题意f(x)≥0，x∈[a，b]，存在x
0
∈[a，b]，使f(x
0
)≠0，从而f(x
0
)＞0，又 由连续性可得，
=f(x
0
)＞0=>存在δ＞0与η＞0，当0＜｜x－x
0
｜＜δ时，恒有 f(x)＞η＞0． 于是 ∫
a
b
f(x)dx≥∫
x0－δ
x0+δ
f(x)dx≥∫
x0－δ
x0+δ
ηdx=η.2δ＞0． (2)设[0，2]上存在连续可微的函数f(x)满足题设条件，则在[0，1]上，对任意x∈(0，1]，存在ξ
1
∈(0，x)，由拉格朗日中值定理得f(x)－f(x)=f'(ξ
1
)(x－0)，即f(x)=1+f'(ξ
1
)x． 利用｜f'(x)｜≤1得1－x≤f(x)(x∈(0，1])． 由题设f(0)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[0，1]． 同样，在[1，2]上，对任意x∈[1，2)，存在ξ
2
∈(x，2)，由拉格朗日中值定理得 f(x)－f(2)=f'(ξ
2
)(x－2)， 即f(x)=1+f'(ξ
2
)(x－2)，利用｜f'(x)｜≤1得 1+(x－2)≤f(x)， 即x－1≤f(x)(x∈[1，2))． 由题设f(2)=1知这一不等式成立范围可扩大为z∈[1，2]． ∫
0
2
f(x)dx=∫
0
1
f(x)dx+∫
1
2
f(x)dx ＞∫
0
1
(1－x)dx+∫
1
2
(x－1)dx
=f(x
0
)＞0=>存在δ＞0与η＞0，当0＜｜x－x
0
｜＜δ时，恒有 f(x)＞η＞0． 于是 ∫
a
b
f(x)dx≥∫
x0－δ
x0+δ
f(x)dx≥∫
x0－δ
x0+δ
ηdx=η.2δ＞0． (2)设[0，2]上存在连续可微的函数f(x)满足题设条件，则在[0，1]上，对任意x∈(0，1]，存在ξ
1
∈(0，x)，由拉格朗日中值定理得f(x)－f(x)=f'(ξ
1
)(x－0)，即f(x)=1+f'(ξ
1
)x． 利用｜f'(x)｜≤1得1－x≤f(x)(x∈(0，1])． 由题设f(0)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[0，1]． 同样，在[1，2]上，对任意x∈[1，2)，存在ξ
2
∈(x，2)，由拉格朗日中值定理得 f(x)－f(2)=f'(ξ
2
)(x－2)， 即f(x)=1+f'(ξ
2
)(x－2)，利用｜f'(x)｜≤1得 1+(x－2)≤f(x)， 即x－1≤f(x)(x∈[1，2))． 由题设f(2)=1知这一不等式成立范围可扩大为z∈[1，2]． ∫
0
2
f(x)dx=∫
0
1
f(x)dx+∫
1
2
f(x)dx ＞∫
0
1
(1－x)dx+∫
1
2
(x－1)dx
【答案解析】