问答题 设A为n阶方阵且A 2 =A，证明：若A的秩为r，则A-E的秩为n-r，其中E是n阶单位矩阵．
【正确答案】
【答案解析】[解] 因为A 2 =A，所以A(A-E)=0，
所以0=r(A(A-E))≥r(A)+r(A-E)-n，
即得-r(A)+r(A-E)≤n ①
又因为r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n即r(A)+r(A-E)≤n ②
由①②得r(A)+r(A-E)=n．所以r(A-E)=n-r．