(1998年试题，四)确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量
【正确答案】正确答案：根据题意，设P(x，y)=2xy(x
4
+y
2
)
λ
，Q(x,y)=-x
2
(x
4
+y
2
)
λ
已知向量
是u(x，y)的梯度，则由梯度的定义知，
其中P
y
"
=2x(x
4
+y
2
)
λ
+2xy.λ(x
4
+y
2
)
λ－1
.2y;Q
x
"
=一2x(x
4
+y
2
)
λ
一x
2
.λ(x
4
+y
2
)
λ－1
.4x
3
于是2x(x
4
+y
2
)
λ
+4λxy
2
(x
4
+y
2
)
λ－1
=一2x(x
4
+y
2
)
λ
一4λx
5
(x
4
+y
2
)
λ－1
解得λ=一1，从而
在右半面平面取一点(1，0)作为积分起点，根据曲线积分与路径无关，有
806解析二先求出λ=一1，则被积表达式
故而得
解析三先求出λ=一1．由于
两边对变量y积分，得
由
，故C
’
（x）=0，即C（x）=C,所以，
是u(x，y)的梯度，则由梯度的定义知，
其中P
y
"
=2x(x
4
+y
2
)
λ
+2xy.λ(x
4
+y
2
)
λ－1
.2y;Q
x
"
=一2x(x
4
+y
2
)
λ
一x
2
.λ(x
4
+y
2
)
λ－1
.4x
3
于是2x(x
4
+y
2
)
λ
+4λxy
2
(x
4
+y
2
)
λ－1
=一2x(x
4
+y
2
)
λ
一4λx
5
(x
4
+y
2
)
λ－1
解得λ=一1，从而
在右半面平面取一点(1，0)作为积分起点，根据曲线积分与路径无关，有
806解析二先求出λ=一1，则被积表达式
故而得
解析三先求出λ=一1．由于
两边对变量y积分，得
由
，故C
’
（x）=0，即C（x）=C,所以，
【答案解析】解析：如果通过下述凑微分，
