解答题
24.[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0．
试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0．
试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
【正确答案】先证必要性．设三直线交于一点，则二元线性方程组
有唯一解，故其系数矩阵
与其增广矩阵
的秩为2，且
由于
=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
=3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，
又l1，l2，l3是三条不同直线，故a=b=c不成立．因而(a一b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0(或者如果a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点与交点唯一矛盾)，故a+b+c=0．
下证充分性．若a+b+c=0，则c=一(a+b)，且由必要性的证明中知
，故秩
．
又系数矩阵A中有一个二阶子式
=2(ac一b2)=2[a(a+b)+b2]=-2[(a+b／2)2+3b2／4]≠0，
故秩(A)=2．于是秩(A)=
有唯一解，故其系数矩阵
与其增广矩阵的秩为2，且由于
=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，
又l1，l2，l3是三条不同直线，故a=b=c不成立．因而(a一b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0(或者如果a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点与交点唯一矛盾)，故a+b+c=0．
下证充分性．若a+b+c=0，则c=一(a+b)，且由必要性的证明中知
，故秩．又系数矩阵A中有一个二阶子式
=2(ac一b2)=2[a(a+b)+b2]=-2[(a+b／2)2+3b2／4]≠0，故秩(A)=2．于是秩(A)=
【答案解析】