解答题
6.已知函数x=f(x，y)的全微分dz=2xdx－2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x2+
【正确答案】由题设可知
于是f(x，y)=x2+C(y)，且C'(y)=－2y，从而C(y)=－y2+C，再由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2－y2+2。
令
=0得可能极值点为(0，0)。
再考虑其在边界曲线x2+
=1上的情形。
作拉格朗日函数
F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+
－1)，
解得
得可能极值点(0，2)，(0，－2)，(1，0)，(－1，0)。
将上述各点代入f(x，y)得f(0，0)=2，f(0，±2)=－2，f(±1，0)=3，可见z=f(x，y)在区域D={(x，y)|x2+
于是f(x，y)=x2+C(y)，且C'(y)=－2y，从而C(y)=－y2+C，再由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2－y2+2。
令
=0得可能极值点为(0，0)。再考虑其在边界曲线x2+
=1上的情形。作拉格朗日函数
F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+
－1)，解得
得可能极值点(0，2)，(0，－2)，(1，0)，(－1，0)。
将上述各点代入f(x，y)得f(0，0)=2，f(0，±2)=－2，f(±1，0)=3，可见z=f(x，y)在区域D={(x，y)|x2+
【答案解析】