问答题
已知3阶实对称矩阵A的特征值是1，1，0，且α=(1，1，1)
T
是齐次方程组Aχ=0的基础解系．
(Ⅰ)求A的特征向量；
(Ⅱ)求秩r(A-E)；
(Ⅲ)如β=(1，3，5) T ，求A n β．
(Ⅰ)求A的特征向量；
(Ⅱ)求秩r(A-E)；
(Ⅲ)如β=(1，3，5) T ，求A n β．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)由Aα=0=0α，知α=(1，1，1)
T
是矩阵A关于特征值λ=0的特征向量．设A关于特征值λ=1的特征向量为(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，
因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有x 1 +x 2 +x 3 =0．
基础解系α 1 =(-1，1，0) T ，α 2 =(-1，0，1) T 是矩阵A关于特征值λ=1的线性无关的特征向量．
故A关于λ=1的特征向量为：k 1 α 1 +k 2 α 2 ，k 1 ，k 2 不全为0．
λ=0的特征向量为：kα，k≠0．
(Ⅱ)A是实对称矩阵必与对角矩阵相似，有
故
，所以
因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有x 1 +x 2 +x 3 =0．
基础解系α 1 =(-1，1，0) T ，α 2 =(-1，0，1) T 是矩阵A关于特征值λ=1的线性无关的特征向量．
故A关于λ=1的特征向量为：k 1 α 1 +k 2 α 2 ，k 1 ，k 2 不全为0．
λ=0的特征向量为：kα，k≠0．
(Ⅱ)A是实对称矩阵必与对角矩阵相似，有
，所以