解答题
16.设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性的无关3维列向量组，满足
Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．
(1)求A的特征值．
(2)判断A是否相似于对角矩阵?
Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．
(1)求A的特征值．
(2)判断A是否相似于对角矩阵?
【正确答案】(1)用矩阵分解：
A(α1，α2，α3)＝(α1＋2α2＋2α3，2α1＋α2＋2α3，2α1＋2α2＋α3)＝(α1，α2，α3)B，这里
B＝
从α，α，α线性无关的条件知道，(α，α，α)是可逆矩阵．于是A相似于B．
(1)
的秩为1，其特征值为0，0，6．
得B的征值为－1，－1，5．则A的征值也为－1，－1，5．
(2)B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．
A(α1，α2，α3)＝(α1＋2α2＋2α3，2α1＋α2＋2α3，2α1＋2α2＋α3)＝(α1，α2，α3)B，这里
B＝
从α，α，α线性无关的条件知道，(α，α，α)是可逆矩阵．于是A相似于B．
(1)
的秩为1，其特征值为0，0，6．得B的征值为－1，－1，5．则A的征值也为－1，－1，5．
(2)B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．
【答案解析】