设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B
T
为B的转置矩阵，
试证：B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．
【正确答案】正确答案：必要性：设B
T
AB为正定矩阵，则由定义知，对任意的n维实列向量x≠0，有x
T
(B
T
AB)x＞0，即(Bx)
T
A(Bx)＞0． 于是，Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n． 充分性：因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB，故B
T
AB为实对称矩阵． 若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0． 又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)
T
A(Bx)＞0． 于是当x≠0，有x
T
(B
T
AB)x=(Bx)
T
A(Bx)＞0，故B
T
AB为正定矩阵．