设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
，Aα
2
=α
2
+α
3
，Aα
3
=2α
2
+3α
3
．
问答题
求矩阵B，使A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]B；
【正确答案】正确答案：由题设条件，有 A[α
1
，α
2
，α
3
]=[Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
]=[α
1
+α
2
+α
3
，2α
2
+α
3
，2α
2
+3α
3
] =[α
1
，α
2
，α
3
]
所以，B=
所以，B=
【答案解析】
问答题
求A的特征值；
【正确答案】正确答案：记矩阵C=[α
1
，α
2
，α
3
]，则由(1)知AC=CB，又因α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，知C为3阶可逆方阵，故得C
—1
AC=B，计算可得B特征值为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=4，因相似矩阵有相同特征值，得A的特征值为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=4．
【答案解析】
问答题
求一个可逆矩阵P，使得P
—1
AP为对角矩阵．
【正确答案】正确答案：对于λ
1
=λ
2
=1，解方程组(E一B)x=0，得基础解系ξ
1
=(一1．1，0)
T
，ξ
2
=(一2，0，1)
T
；对应于λ
3
=4，解方程组(4E—B)x=0，得基础解系己=(0，1，1)
T
．令矩阵 Q=[ξ
1
ξ
2
ξ
3
]=
则有 Q
—1
B Q=
因Q
—1
BQ=Q
—1
C
—1
ACQ=(CO)
—1
A(CQ)，记矩阵 P—CQ一[α
1
，α
2
，α
3
]
则有 Q
—1
B Q=
因Q
—1
BQ=Q
—1
C
—1
ACQ=(CO)
—1
A(CQ)，记矩阵 P—CQ一[α
1
，α
2
，α
3
]
【答案解析】