二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX在正交变换X=QY下化为10y
1
2
-4y
2
2
-4y
3
2
，Q的第1列为
【正确答案】正确答案：标准二次型10y
1
2
-4y
2
2
-4y
3
2
的矩阵为
则Q
-1
AQ=Q
T
AQ=B，A和B相似．于是A的特征值是10，-4，-4． (1)Q的第1列α
1
=
是A的属于10的特征向量，其
倍η
1
=(1，2，3)
T
也是属于10的特征向量．于是A的属于-4的特征向量和(1，2，3)
T
正交，因此就是方程 x
1
+2x
2
+3x
3
=0 的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η
2
=(2，-1，0)
T
，η
3
=
建立矩阵方程A(η
1
，η
2
，η
3
)=(10η
1
，-4η
2
，-4η
3
)，用初等变换法解得
(2)将η
2
，η
3
单位化得α
2
=
(2，-1，0)
T
，α
3
=
则Q
-1
AQ=Q
T
AQ=B，A和B相似．于是A的特征值是10，-4，-4． (1)Q的第1列α
1
=
是A的属于10的特征向量，其
倍η
1
=(1，2，3)
T
也是属于10的特征向量．于是A的属于-4的特征向量和(1，2，3)
T
正交，因此就是方程 x
1
+2x
2
+3x
3
=0 的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η
2
=(2，-1，0)
T
，η
3
=
建立矩阵方程A(η
1
，η
2
，η
3
)=(10η
1
，-4η
2
，-4η
3
)，用初等变换法解得
(2)将η
2
，η
3
单位化得α
2
=
(2，-1，0)
T
，α
3
=
【答案解析】