问答题
设二次型x
T
Ax=x
1
2
+4x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
，矩阵B=
问答题
用正交变换化x
T
Ax为标准形，写出所作变换．
【正确答案】正确答案：A=
先作正交矩阵Q，使得Q
—1
AQ是对角矩阵． 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量： 对B的第1，2两个列向量α
1
=(1，0，1)
T
，α
2
=(2，—1，0)
T
作施密特正交化： η
1
=α
1
／
(1，0，1)
T
，求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α
1
，α
2
都正交，即是方程组 {x
1
+x
3
=0，2x
1
的非零解，求出α
3
=(1，2，—1)
T
是属于6的一个特征向量，单位化 η
3
=α
3
(1，2，—1)
T
． 记Q=(η
1
，η
2
，η
3
)，则Q是正交矩阵，Q
—1
AQ=
先作正交矩阵Q，使得Q
—1
AQ是对角矩阵． 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量： 对B的第1，2两个列向量α
1
=(1，0，1)
T
，α
2
=(2，—1，0)
T
作施密特正交化： η
1
=α
1
／
(1，0，1)
T
，求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α
1
，α
2
都正交，即是方程组 {x
1
+x
3
=0，2x
1
的非零解，求出α
3
=(1，2，—1)
T
是属于6的一个特征向量，单位化 η
3
=α
3
(1，2，—1)
T
． 记Q=(η
1
，η
2
，η
3
)，则Q是正交矩阵，Q
—1
AQ=
【答案解析】
问答题
求(A—3E)
6
．
【正确答案】正确答案：A的特征值为0，0，6，则A—3E的特征值为—3，—3，3，(A—3E)
6
的3个特征值都是3
6
．于是(A—3E)
6
～3
6
E→(A—3E)
6
=3
6
E．
【答案解析】