设由曲线y＝
与直线χ＝a(0＜a＜1)以及y＝0，y＝1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．
与直线χ＝a(0＜a＜1)以及y＝0，y＝1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．
【正确答案】正确答案：由曲线y＝
与直线χ＝a(0＜a＜1)以及y＝0，y＝1围成的平面图形可分为两个部分区域
在D
1
中y→y＋dy的小窄条绕χ轴旋转产生一个薄壁圆筒，其高度为a－
，半径为y，厚度为dy，从而其体积dV＝2πy(a－
)dy．故区域D
1
绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积
在D
2
中y→y＋dy的小窄条绕χ轴旋转产生一个薄壁圆筒，其高度为
－a，半径为y，厚度为dy，从而其体积dV＝2πy(
－a)dy,故区域D
2
绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积
把V
1
(a)与V
2
(a)相加，即得
即V(a)的最小值是
，最小值点是a＝
与直线χ＝a(0＜a＜1)以及y＝0，y＝1围成的平面图形可分为两个部分区域
在D
1
中y→y＋dy的小窄条绕χ轴旋转产生一个薄壁圆筒，其高度为a－
，半径为y，厚度为dy，从而其体积dV＝2πy(a－
)dy．故区域D
1
绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积
在D
2
中y→y＋dy的小窄条绕χ轴旋转产生一个薄壁圆筒，其高度为
－a，半径为y，厚度为dy，从而其体积dV＝2πy(
－a)dy,故区域D
2
绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积
把V
1
(a)与V
2
(a)相加，即得
即V(a)的最小值是
，最小值点是a＝
【答案解析】