设A是m×n矩阵，B=λE+A
T
A，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．
【正确答案】正确答案：(定义法) 因为B
T
=(λE+A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B，故B是n阶实对称矩阵，
n维实向量x≠0，有x
T
Bx=λx
T
x+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)=λ‖x‖
2
+‖Ax‖
2
． 由于x≠0，λ＞0，恒有λ‖x‖
2
＞0，而‖Ax‖
2
≥0，因此x
T
Bx＞0(
n维实向量x≠0，有x
T
Bx=λx
T
x+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)=λ‖x‖
2
+‖Ax‖
2
． 由于x≠0，λ＞0，恒有λ‖x‖
2
＞0，而‖Ax‖
2
≥0，因此x
T
Bx＞0(
【答案解析】