解答题
13.设A为n阶矩阵．A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．
【正确答案】设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜=0，于是A*b=A*AX=｜A｜X=0．
反之，设A*b=0，因为b≠0，所以方程组A*X=0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，
所以r(A*)=1，且r(A)=n-1．
因为r(A*)=1，所以方程组A*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A*A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X=0的一组解向量．
由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X=0的基础解系．
因为A*b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)=
反之，设A*b=0，因为b≠0，所以方程组A*X=0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，
所以r(A*)=1，且r(A)=n-1．
因为r(A*)=1，所以方程组A*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A*A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X=0的一组解向量．
由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X=0的基础解系．
因为A*b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)=
【答案解析】