解答题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y'(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
【正确答案】
【答案解析】[解] 曲线y=y(x)点P(x，y)处的切线方程为Y-y=y'·(X-x)．
它与x轴的交点为
由于y'(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是
又
，由条件2S1-S2=1知
(*)
两边对x求导并化简得yy"=(y')2．令p='，则上述方程可化为
从而
，解得p=C1y，即
它与x轴的交点为
由于y'(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是又
，由条件2S1-S2=1知 (*)两边对x求导并化简得yy"=(y')2．令p='，则上述方程可化为
从而
，解得p=C1y，即