问答题
设A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是3维列向量，其中α
3
≠0，若Aα
1
=α
2
，Aα
2
=α
3
，Aα
3
=0.
问答题
证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
【正确答案】
【答案解析】[解] 设k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0
(1)
因为Aα1=α2，Aα2=α3，Aα3=0，用A左乘(1)式两端，有
k1α2+k2α3=0 (2)
再用A左乘(2)式两端，有k1α3=0.
由于α3≠0，故必有k1=0.
把k1=0代入(2)得k2=0.把k1=0，k2=0代入(1)得k3=0.
所以α1，α2，α3线性无关．
因为Aα1=α2，Aα2=α3，Aα3=0，用A左乘(1)式两端，有
k1α2+k2α3=0 (2)
再用A左乘(2)式两端，有k1α3=0.
由于α3≠0，故必有k1=0.
把k1=0代入(2)得k2=0.把k1=0，k2=0代入(1)得k3=0.
所以α1，α2，α3线性无关．
问答题
求矩阵A的特征值和特征向量；
【正确答案】
【答案解析】[解] 由于
据(Ⅰ)知α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，即矩阵P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )可逆．
从而
据(Ⅰ)知α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，即矩阵P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )可逆．
从而
问答题
求行列式|A+2E|的值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 因为A～B有A+2E～B+2E
从而|A+2E|=|B+2E|=8.
从而|A+2E|=|B+2E|=8.