设有齐次线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，则r(a)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解； ③若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则r(A)＝r(B)； ④若r(A)＝r(B)，则Aχ＝0与Bχ＝0同解． 以上命题中正确的有( )
【正确答案】
B
【答案解析】解析：由于线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B． 下面证明①，③正确： 对于①，由Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解可知，方程组Bχ＝0含于Aχ＝0之中，从而Aχ＝0的有效方程的个数(即为r(A))必不少于Bχ＝0的有效方程的个数(为r(B))，故 r(A)≥r(B)． 对于③，由于A，B为同型矩阵，若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即 n－r(A)＝n－r(B)， 从而r(A)＝r(B)．所以应选B．