问答题
已知f(x)在[a，b]上有连续的二阶导数，且f"(x)＜0，f(a)=f(b)=0．试证：在(a，b)内f(x)＞0，且
【正确答案】
【答案解析】由f"(x)＜0司知，f(x)在[a，b]上是凸函数，由凸函数性质知，f(x)在(a，b)内的图形位于(a，f(a))和(b，f(b))之间的线段之上，即x轴之上，所以在(a，b)内f(x)＞0．
由上可知，存在一点c∈(a，b)，使得
，由拉格朗日中值定理得
f(c)-f(a)=f"(ξ 1 )(c-a)，即
f(b)-f(c)=f"(ξ 2 )(b-c)，即
则
由上可知，存在一点c∈(a，b)，使得
，由拉格朗日中值定理得
f(c)-f(a)=f"(ξ 1 )(c-a)，即
f(b)-f(c)=f"(ξ 2 )(b-c)，即
则