问答题
(Ⅰ)设f(x)在[a，b]上具有三阶连续导数，写出f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式．
(Ⅱ)设函数f(x)在区间[a，b]上具有三阶连续导数，证明：存在η∈(a，b)，使得
(Ⅱ)设函数f(x)在区间[a，b]上具有三阶连续导数，证明：存在η∈(a，b)，使得
【正确答案】[证明] (Ⅰ)任意给定x0∈(口，b)，对任意x∈[a，b]，则f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为
．
(Ⅱ)把f(b)与f(a)分别在点
处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，
将上面两式相减可得
．
由于f"'(x)在[a，b]上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在η∈[η1，η2]
(a，b)，使得
，
将其代入f(b)-f(a)的表达式，即存在一点η∈(a，b)使得
．(Ⅱ)把f(b)与f(a)分别在点
处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，将上面两式相减可得
．由于f"'(x)在[a，b]上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在η∈[η1，η2]
(a，b)，使得，将其代入f(b)-f(a)的表达式，即存在一点η∈(a，b)使得
【答案解析】