问答题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
，n=2，3，…．
问答题
证明方程f
n
(x)=1在[0，+∞)上有唯一实根x
n
；
【正确答案】正确答案：f
n
(x)连续，且f
n
(0)=0，f
n
(1)=n＞1，由介值定理可得，存在x
n
∈(0，1)，使f
n
(x
n
)=1，n=2，3，…，又x＞0时，f'
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
＞0，故f
n
(x)严格单调递增，因此x
n
是f
n
(x)一1在[0，+∞)内的唯一实根．
【答案解析】
问答题
【正确答案】正确答案：由(1)可得，x
n
∈(0，1)，n=2，3，…，所以{x
n
}有界． 又因为f
n
(x
n
)一1=f
n+1
(x
n+1
)，n=2，3，…，所以 x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
x
n+1
+x
n+1
2
+…+x
n+1
n
+x
n+1
n+1
， 即(x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
)一(x
n+1
+x
n+1
2
+…+x
n+1
n
)=x
n+1
n+1
＞0，因此x
n
＞x
n+1
(n=2，3，…)，即{x
n
}严格单调递减．于是由单调有界准则知
存在，记
由x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
=1得
因为0＜x
n
＜1，所以
于是
解得
即
存在，记
由x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
=1得
因为0＜x
n
＜1，所以
于是
解得
即
【答案解析】