问答题 设4阶矩阵A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1) T +c(1，-2，4，0) T ，c任意．
记B=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，β-α 4 )．求方程组Bx=α 1 -α 2 的通解
【正确答案】
【答案解析】[解] 首先从AX=β的通解为(1，2，2，1) T +c(1，-2，4，0) T 可得到下列信息：
①Ax=0的基础解系包含1个解，即4-rA．=1，得rA．=3．即r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 =3．
②(1，2，2，1) T 是Ax=β解，即α 1 +2α 2 +2α 3 +α 4 =β．
③(1，-2，4，0) T 是Ax=0解，即α 1 -2α 2 +4α 3 =0．α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=2．
显然B(0，-1，1，0) T =α 1 -α 2 ，即(0，-1，1，0) T 是Bx=α 1 -α 2 的一个解．
由②，B=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，β-α 4 )=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，α 1 +2α 2 +2α 3 )，于是
rB．=r(α 3 ，α 2 ，α 1 ，α 1 ，α 1 +2α 2 +2α 3 )=r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=2．
则Bx=0的基础解系包含解的个数为4-rB．=2个．α 1 -2α 2 +4α 3 =0说明(4，-2，1，0) T 是Bx=0的解；又从B=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，α 1 +2α 2 +2α 3 )容易得到B(-2，-2，-1，1) T =0，说明(-2，-2，-1，1) T 也是Bx=0的解．于是(4，-2，1，0) T 和(-2，-2，-1，1) T 构成Bx=0的基础解系．
Bx=α 1 -α 2 的通解为：
(0，-1，1，0) T +c 1 (4，-2，1，0) T +c 2 (-2，-2，-1，1) T ，c 1 ，c 2 任意．