解答题
18.设函数y(χ)在区间[0，＋∞)上有连续导数，并且满足y(χ)＝－1＋χ＋2∫0χ(χ－t)y(t)y′(t)dt．
求y(χ)．
求y(χ)．
【正确答案】对所给方程变形
y(χ)＝－1＋χ＋2χ∫0χy(t)y′(t)dt－2∫0χty(t)y′(t)dt．
方程两端对χ求导，得
y′(χ)＝1＋2∫0χy(t)y′(t)dt，
继续求导，得
y〞(χ)＝2y(χ)y′(χ)，且y(0)＝－1，y′(0)＝1．
微分方程不显含自变量χ，令P＝y′，方程可化为
P
＝2py，
这是自变量可分离的微分方程，求得通解为
P＝y2＋c1，即y′＝y2＋c1，
由y(0)＝－1，y′(0)＝1可得，c1＝0，
从y′＝y2，所以y＝－
．
再由y(0)＝－1，得c2＝1，
故函数y＝－
y(χ)＝－1＋χ＋2χ∫0χy(t)y′(t)dt－2∫0χty(t)y′(t)dt．
方程两端对χ求导，得
y′(χ)＝1＋2∫0χy(t)y′(t)dt，
继续求导，得
y〞(χ)＝2y(χ)y′(χ)，且y(0)＝－1，y′(0)＝1．
微分方程不显含自变量χ，令P＝y′，方程可化为
P
＝2py，这是自变量可分离的微分方程，求得通解为
P＝y2＋c1，即y′＝y2＋c1，
由y(0)＝－1，y′(0)＝1可得，c1＝0，
从y′＝y2，所以y＝－
．再由y(0)＝－1，得c2＝1，
故函数y＝－
【答案解析】