解答题
4.已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y"－(2x+1)y'+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。
【正确答案】由已知得
y'2=u'(x)ex+u(x)ex=[u'(x)+u(x)]ex，
y"2=ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]，
所以
(2x－1)ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]－(2x+1)[u'(x)+u(x)]ex+2u(x)ex=0，
化简可得u"／u'=
，即(lnu')'=
，两边对x求积分得
lnu'(x)=－∫
y'2=u'(x)ex+u(x)ex=[u'(x)+u(x)]ex，
y"2=ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]，
所以
(2x－1)ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]－(2x+1)[u'(x)+u(x)]ex+2u(x)ex=0，
化简可得u"／u'=
，即(lnu')'=，两边对x求积分得lnu'(x)=－∫
【答案解析】