问答题
已知A是2×4阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系是
η 1 =(1，3，0，2) T ，η 2 =(1，2，-1，3) T ，
又知齐次线性方程组Bx=0的基础解系是
β 1 =(1，1，2，1) T ，β 2 =(0，-3，1，a) T ，
η 1 =(1，3，0，2) T ，η 2 =(1，2，-1，3) T ，
又知齐次线性方程组Bx=0的基础解系是
β 1 =(1，1，2，1) T ，β 2 =(0，-3，1，a) T ，
问答题
求矩阵A；
【正确答案】
【答案解析】记C=(η
1
，η
2
)，由AC=A(η
1
，η
2
)=0知C
T
A
T
=0，那么矩阵A
T
的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次方程组C
T
x=0的解，对C
T
作初等变换，有
得到C T x=0的基础解系为α 1 =(3，-1，1，0) T ，α 2 =(-5，1，0，1) T ．
所以矩阵
得到C T x=0的基础解系为α 1 =(3，-1，1，0) T ，α 2 =(-5，1，0，1) T ．
所以矩阵
问答题
如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．
【正确答案】
【答案解析】设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ，则γ既可由η
1
，η
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出，故可设
γ=x 1 η 1 +x 2 η 2 =-x 3 β 1 -x 4 β 2 ，
于是
x 1 η 1 +x 2 η 2 +x 3 β 1 +x 4 β 2 =0，
对(η 1 ，η 2 ，β 1 ，β 2 )作初等行变换，有
γ≠0
x
1
，x
2
，x
3
，x
4
不全为0
r(η
1
，η
2
，β
1
，β
2
)＜4
γ=x 1 η 1 +x 2 η 2 =-x 3 β 1 -x 4 β 2 ，
于是
x 1 η 1 +x 2 η 2 +x 3 β 1 +x 4 β 2 =0，
对(η 1 ，η 2 ，β 1 ，β 2 )作初等行变换，有
γ≠0
x
1
，x
2
，x
3
，x
4
不全为0
r(η
1
，η
2
，β
1
，β
2
)＜4