解答题
设二次型
矩阵A满足AB=0，其中
矩阵A满足AB=0，其中
问答题
用正交变换化二次型f=xTAx为标准形，并写出所用的正交变换；
【正确答案】
【答案解析】由AB=0，知λ=0是矩阵A的特征值且矩阵B的列向量(1，0，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量，故有
得特征值：λ1=6，λ2=0，λ3=-6．
当λ1=6时，由(A-6E)x=0得特征向量α1=(1，2-1)T；
当λ2=0时，由已知，有特征向量α2=(1，0，1)T；
当λ3=-6时，由(A+6E)x=0得特征向量α3=(-1，1，1)T．
由于A的特征值均为单根，其对应的特征向量天然正交，因此只需把α1，α2，α3单位化，得
则正交矩阵
令x=Py，
得特征值：λ1=6，λ2=0，λ3=-6．
当λ1=6时，由(A-6E)x=0得特征向量α1=(1，2-1)T；
当λ2=0时，由已知，有特征向量α2=(1，0，1)T；
当λ3=-6时，由(A+6E)x=0得特征向量α3=(-1，1，1)T．
由于A的特征值均为单根，其对应的特征向量天然正交，因此只需把α1，α2，α3单位化，得
则正交矩阵
令x=Py，
问答题
判断矩阵A与B是否合同．
【正确答案】
【答案解析】A的特征值为：6，0，-6，可求出B的特征值为：0，0，2．由惯性定理，A与B不合同．