【正确答案】正确答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy－x ² －y ² 在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值． 首先求f(x，y)=x+xy－x ² －y ² 在闭区域D内部的极值： 解方程组 得区域D内部唯一的驻点为 ．由 g(x，y)=(fˊˊ _xy ) ² －fˊˊ _xx fˊˊ _yy =－3 得f(x，y)=x+xy－x ² －y ² 在闭区域D内部的极大值 再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件． 在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x+xy－x ² －y ² +λy， 解方程组 得可能的极值点 ，其函数值为 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为0． 同理可求出： 在上面边界上的最大值为－2，最小值为－4； 在左面边界上的最大值为0，最小值为－4； 在右面边界上的最大值为 ，最小值为－2． 比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy－x ² －y ² 在闭区域D上的最大值为