解答题
在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式
【正确答案】
【答案解析】[解] 作拉格朗日函数
L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2-5R2)，
并令
由①，②，③式得
代入式④得可疑点
因xyz3在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2上也有最大值，而
唯一，故最大值为
又
即
故x2y2z6≤27R10．
令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则
L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2-5R2)，
并令
由①，②，③式得
代入式④得可疑点因xyz3在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2上也有最大值，而唯一，故最大值为又即故x2y2z6≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则