【正确答案】因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r．
设η₀为方程组AX=b的一个特解，
令β₀=η₀，β₁=ξ₁+η₀，β₂=ξ₂+η₀，…，β_n－r=ξ_n－r+η₀，显然β₀，β₁，β₂，…，β_n－r为方程组AX=b的一组解．
令k₀β₀+k₁β₁+…+k_n－rβ_n－r=0，即
(k₀+k₁+…+k_n－r)η₀+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r=0，
上式两边左乘A得(k₀+k₁+…+k_n－r)b=0，
因为b为非零列向量，所以k₀+k₁+…+k_n－r=0，于是
k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r=0，
注意到ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n－r=0，
故β₀，β₁，β₂，…，β_n－r线性无关，即方程组AX=b存在由n－r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β₁，β₂，…，β_n－r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，
令γ₁=β₂－β₁，γ₂=β₃－β₁，…，γ_n－r+1=β_n－r+2－β₁，根据定义，易证γ₁，γ₂，…，γ_n－r－1线性无关，又γ₁，γ₂，…，γ_n－r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n－r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n－r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n－r+1个．