问答题
设总体X的分布函数为
问答题
求EX与EX2；
【正确答案】解 X的概率密度为
[*]
∵[*]
【答案解析】求EX时做积分[*]．可用概率知识：设随机变量[*]，则Eξ=0，[*][*]，可得：[*]．这种化到正态分布的性质上做积分的手法比较常见即使用分部积分，化到[*]．上还得化到正态分布上去做，因为这时你找不到原函数，无法用牛一菜公式)．不过求E(X2)时的那个积分倒是可以“凑微分”做出。
问答题
求θ的最大似然估计量
【正确答案】似然函数[*]
当x1，…xn≥0时，lnL=nln2-nlnθ+ln(x1…xn)-[*]，
[*]，令[*]，解得[*]
故 [*]
当x1，…xn≥0时，lnL=nln2-nlnθ+ln(x1…xn)-[*]，
[*]，令[*]，解得[*]
故 [*]
【答案解析】
问答题
是否存在实数a，使得对任何ε＞0，都有
【正确答案】由E(X2)=θ及辛钦大数定律知n→∞时，[*]，故知：取a=θ，则有[*]，均有[*]-a｜≥ε}=0．
【答案解析】要求考生熟悉辛钦大数定律(及一致估计的概念)。
问答题
设总体X～B(m，p)，其中m已知，p未知．从X中抽得简单样本X1，…，Xn，试求p的矩估计和最大似然估计．
【正确答案】矩估计：EX=mp，∴[*]，故[*]；最大似然估计：似然函数为：[*][*][*]，令[*]，解得[*]，故p的最大似然估计为[*]．
【答案解析】
问答题
设总体的密度为：
【正确答案】矩估计：[*]，故[*]；最大似然估计：似然函数为[*]即
[*]
当x1，…，xn＞0时，InL=-2nlnθ+In(x1…xn)-[*]，∴[*]，令[*]，解得θ=[*]，故θ的最大似然估计为：[*]．
[*]
当x1，…，xn＞0时，InL=-2nlnθ+In(x1…xn)-[*]，∴[*]，令[*]，解得θ=[*]，故θ的最大似然估计为：[*]．
【答案解析】
问答题
设总体的密度为：
【正确答案】矩估计：[*]，∴[*]，[*]，联立解得[*]即为θ和μ的矩估计；最大似然估计：似然函数为[*]当[*]时，lnL=-nlnθ-[*]，∴[*]，而[*]，lnL关于μ单调增，故[*]时L达最大，故μ的最大似然估计为[*]，而令[*]，代μ为[*]，得θ的最大似然估计为[*]．
【答案解析】
问答题
设总体X在区间(μ-ρ,μ+ρ)上服从均匀分布，从X中抽得简单样本X1，…，Xn，求μ和ρ(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性．
【正确答案】∵EX=μ，EX2=DX+(EX)2=[*]，得[*]．解得矩估计为[*]，=[*]．而n→∞时，[*][*]，即[*]和[*]分别是μ和ρ的一致估计．
【答案解析】
问答题
设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，…，Xn为从X中抽得的简单样本，试求θ的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是口的无偏估计?
【正确答案】[*]，得[*]为θ的矩估计．而[*]，即[*]为θ的无偏估计．又，似然函数[*]
当[*]时，随着θ的增加L在减小，欲使L达最大，须[*]，即θ的最大似然估计为[*]．而[*]的分布函数为[*]=[P(X1≤x)]n=[*]
∴[*]的概率密度为：
[*]
故[*]，可见[*]不是θ的无偏估计．
当[*]时，随着θ的增加L在减小，欲使L达最大，须[*]，即θ的最大似然估计为[*]．而[*]的分布函数为[*]=[P(X1≤x)]n=[*]
∴[*]的概率密度为：
[*]
故[*]，可见[*]不是θ的无偏估计．
【答案解析】
问答题
设Y=lnX～N(μ，σ2)，而X1，…，Xn为取自总体的X的简单样本，试求EX的最大似然估计．
【正确答案】[*]．令Yi=lnXi，i=1，2，…，n．Y1，…Yn相当于取自总体Y中的样本。似然函数[*]，∴[*]，令[*][*]，解得[*]，故μ和σ2的最大似然估计分别为[*]，[*]，故EX的最大似然估计为[*]．这里exp{a}=ea．
【答案解析】
问答题
从均值为μ，方差为σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别记为
和
．试证：对任意满足a+b=1的常数a、b，T=
和．试证：对任意满足a+b=1的常数a、b，T=
【正确答案】[*]，∴T为μ的无偏估计．而[*][*]，令[*]，解得[*]，而[*]=[*]，可见D(T)在[*]处取得唯一极值且为极小值，故[*]时，D(T)最小．
【答案解析】
问答题
总体X～N(2，σ2)，从X中抽得简单样本X1，…，Xn试推导σ2的置信度为1-α的置信区间．若样本值为：1.8，2.1，2.0，1.9，2.2，1.8．求出σ2的置信度为0.95的置信区间．(
=14.449，
=14.449，
【正确答案】[*]，∴1-α=[*]≤σ2≤[*]，故σ2的置信区间为：[*]．对1-α=0.95，n=6，可算得[*]-2)2=0.14，故σ2的置信区间为[*]=[0.009689，0.1132]．
【答案解析】
问答题
为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验．得收获量如下表：
设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为0.95的置信区间(t0.975(11)=2.201，下侧分位数)．
| 施肥 | 34 | 35 | 30 | 32 | 33 | 34 | |
| 不施肥 | 29 | 27 | 32 | 31 | 28 | 32 | 31 |
【正确答案】设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体X与Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，本题中n=6，[*]，[*]，1-α=0.95，故μ1-μ2的置信下限为[*][*]，置信上限为[*](33-30)+2.201×[*]=5.3351．
【答案解析】
问答题
某种清漆的9个样品的干燥时间(小时)为：6.5，5.8，7，6.5，7，6.3．5.6，6.1，5．设干燥时间X～N(μ，σ2)·求μ的置信度为0.95的置信区间．在(1)σ=0.6(小时)；(2)σ未知．两种情况下作．(u0.975=1.96，t0.975(8)=2.3060，下侧分位数)
【正确答案】可算得[*]，n=9，α=0.05．(1)σ=0.6时，μ的置信下限为[*]=5.808，μ的置信上限为[*]；(2)σ未知时，[*]=0.43，μ的置信下限为[*]，μ的置信上限为[*][*]．
【答案解析】
问答题
随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11．设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0.95的置信区间．
【正确答案】设炮口速度为总体X，X～N(μ，σ2)．而n=9，α=0.05．∴σ的置信下限为[*][*]，σ的置信上限为[*]．
【答案解析】
问答题
一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为R:1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记X为所抽的白球数．这样做了n次以后，我们获得一组样本：X1，X2，…，Xn基于此，求R的最大似然估计．
【正确答案】由题意，总体X的分布律为：P{X=k}=[*]，k=0，1，2，…似然函数为L=[*]，∴lnL=[*]n[lnR-ln(R+1)]，[*]，令[*]，解得[*]，故R的最大似然估计为[*]．
【答案解析】
问答题
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分．问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程．
[附表]：t分布表．P{t(n)≤tp(n)}=p
[附表]：t分布表．P{t(n)≤tp(n)}=p
【正确答案】原题没出现的记号、说法(如本题中无“总体为X”等)，若要用，请说明其背景含义．对有应用背景的题更应如此．
解 设这次考试全体考生的成绩为总体X，抽的36位考生的成绩为简单随机样本值x1，…，xn，而[*]和s2分别为样本均值和样本方差．由题意，可设X～N(μ，σ2)，σ2未知．
现要检验H0:μ=70，(H1:μ≠70) (α=0.05)
拒绝域为：[*]
由已知：[*]=66.5，n=36，s=15，α=0.05，∴[*]=t0.975(35)=2.0301，代入得：｜[*]-70｜=3.5
而 [*]
∴[*]，故接受H0即认为这次考试全体考生的平均成绩(即μ)与70分没有显著差异(在显著水平0.05下)．
解 设这次考试全体考生的成绩为总体X，抽的36位考生的成绩为简单随机样本值x1，…，xn，而[*]和s2分别为样本均值和样本方差．由题意，可设X～N(μ，σ2)，σ2未知．
现要检验H0:μ=70，(H1:μ≠70) (α=0.05)
拒绝域为：[*]
由已知：[*]=66.5，n=36，s=15，α=0.05，∴[*]=t0.975(35)=2.0301，代入得：｜[*]-70｜=3.5
而 [*]
∴[*]，故接受H0即认为这次考试全体考生的平均成绩(即μ)与70分没有显著差异(在显著水平0.05下)．
【答案解析】本题考查正态总体方差未知情形下对总体均值的假设检验．①本题所给表为“下侧分位数”表(可从P{t(n)≤tp(n)}=p看出)，所以拒绝域里也用下侧分位数表示(若将[*]改成[*]，就成“上侧分位数”了)．②解中原假设H0，拒绝域等须写出，而拒绝域的来由可不写．③注意理解题中“标准差”是指“样本标准差”(即s)．
问答题
用过去的铸造方法，零件强度的标准差是1.6kg/mm2．为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51．52．没零件强度服从正态分布。取显著性水平α=0.05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?(
【正确答案】设零件强度为总体X，则X～N(μ，σ2)，检验H0:σ2=1.62．拒绝域为[*]-1)并[*]，这里[*]，n=9，算得[*]，故[*]＜χ2＜17.535=[*]，故接受H0．
【答案解析】
问答题
一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(%)：3.25，3.26，3.24，3.25．设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为3.26．(t0.995(3)=5.8409，下侧分位数)．
【正确答案】设这批矿砂的镍含量为总体X，则X～N(μ，σ2)．检验H0:μ=μ0．这儿μ0=3.26，n=4，拒绝域为：[*]，可算得[*]=3.25，S=0.01，故[*][*]，可见[*]，故接受H0．
【答案解析】
问答题
测得两批电子器材的部分电阻值为：
A批：140，138，143．142．144，139；
B批：135，140，142，136，135，140．
设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在α=0.05下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异．(t0.975(10)=2.2281，F0.975(5，5)=7.15，下侧分位数．提示：先检验方差相等)
A批：140，138，143．142．144，139；
B批：135，140，142，136，135，140．
设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在α=0.05下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异．(t0.975(10)=2.2281，F0.975(5，5)=7.15，下侧分位数．提示：先检验方差相等)
【正确答案】设A、B批电子器材的电阻值分别为总体X和Y，则[*]．①先检验H0：[*]，拒绝域为[*](n-1，m-1)并[*](n-1，m-1)．这儿n=m=6，算得[*]，[*]，F=0.6087，[*]，故[*](n-1，m-1)＜F＜[*](n-1，m-1)，接受H0；②又检验H0:μ，拒绝域为：[*](n+m-2)[*]，这里[*]，算得[*]，而[*](n+m-2)[*]，∴[*](n+m-2)[*]，接受H0，即认为两批电子器材的平均电阻值无显著差异．
【答案解析】