已知A=
【正确答案】正确答案：(I) 因为r(A
T
A)=r(A)，对A施以初等行变换
可见当a=一1时，r(A)=2，所以a=一1． (Ⅱ)
=(λ一2)(λ
2
一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得A
T
A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=6，λ
3
=0． 对于λ=2，由求方程组(2E—A
T
A)x=0的一个非零解， 可得属于λ
1
=2的一个单位特征向量
(1，一1，0)
T
； 对于λ
2
=6，由求方程组(6E一A
T
A)x=0的一个非零解， 可得属于λ
2
=6的一个单位特征向量
(1，1，2)
T
； 对于λ
3
=0，由求方程组(A
T
A)x=0的一个非零解， 可得属于λ
3
=0的一个单位特征向量
(1，1，一1)
T
． 令矩阵Q=
可见当a=一1时，r(A)=2，所以a=一1． (Ⅱ)
=(λ一2)(λ
2
一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得A
T
A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=6，λ
3
=0． 对于λ=2，由求方程组(2E—A
T
A)x=0的一个非零解， 可得属于λ
1
=2的一个单位特征向量
(1，一1，0)
T
； 对于λ
2
=6，由求方程组(6E一A
T
A)x=0的一个非零解， 可得属于λ
2
=6的一个单位特征向量
(1，1，2)
T
； 对于λ
3
=0，由求方程组(A
T
A)x=0的一个非零解， 可得属于λ
3
=0的一个单位特征向量
(1，1，一1)
T
． 令矩阵Q=
【答案解析】