(2005年试题，20)已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1—a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2．
问答题
求a的值；
【正确答案】正确答案：根据题意可知：二次型矩阵
【答案解析】
问答题
求正交变换x=Qy，把，(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形；
【正确答案】正确答案：由
知矩阵A的特征值为2，2．0．对于λ=2，由(2E一A)x=0，
得特征向量α
1
=(1，0，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
．对于λ=0，由(0E—A)x=0，
得特征向量α
3
=(1，一1，0)
T
．由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有
令
知矩阵A的特征值为2，2．0．对于λ=2，由(2E一A)x=0，
得特征向量α
1
=(1，0，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
．对于λ=0，由(0E—A)x=0，
得特征向量α
3
=(1，一1，0)
T
．由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有
令
【答案解析】
问答题
求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解．
【正确答案】正确答案：方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0即
【答案解析】解析：本题的综合性较强，涉及到了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等知识点．值得注意的是，第(3)问求出y
1
，y
2
，y
3
后，应继续求出x
1
，x
2
，x
3
的值．