解答题
22.设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)f
【正确答案】令F(χ)＝∫aχf(t)dt，则F(χ)在[a，b]上三阶连续可导，取χ0＝
，由泰勒公式得
F(a)＝F(χ0)＋F′(χ0)(a－χ0)＋
(a－χ0)2＋
(a－χ0)3，ξ1∈(a，χ0)，
F(b)＝F(χ0)＋F′(χ0)(b－χ0)＋
(b－χ0)2＋
(b－χ0)3，ξ2∈(χ0，b)，
两式相减得F(b)－F(a)＝F′(χ0)(b－a)＋
[F″′(ξ1)＋F″′(ξ2)]，即
∫abf(χ)dχ＝(b－a)f
[f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，
因为f〞(χ)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得
f〞(ξ)＝
[f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，从而
∫abf(χ)dχ＝(b－a)f
，由泰勒公式得F(a)＝F(χ0)＋F′(χ0)(a－χ0)＋
(a－χ0)2＋(a－χ0)3，ξ1∈(a，χ0)，F(b)＝F(χ0)＋F′(χ0)(b－χ0)＋
(b－χ0)2＋(b－χ0)3，ξ2∈(χ0，b)，两式相减得F(b)－F(a)＝F′(χ0)(b－a)＋
[F″′(ξ1)＋F″′(ξ2)]，即∫abf(χ)dχ＝(b－a)f
[f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，因为f〞(χ)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得f〞(ξ)＝
[f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，从而∫abf(χ)dχ＝(b－a)f
【答案解析】