问答题
设f(x)在[0，1]上可导，且满足
试证明：存在ξ(0，1)，使
试证明：存在ξ(0，1)，使
【正确答案】
【答案解析】[证]由积分中值定理，存在
使得
令F(x)=x 3 f(x)，因为
故有f(1)=η
3
f(η)，即F(1)=F(η)．
显然F(x)在[0，1]上可导，由罗尔中值定理得，存在
使得F"(ξ)=0，即
3ξ 2 f(ξ)+ξ 3 f"(ξ)=0，
即
使得
令F(x)=x 3 f(x)，因为
故有f(1)=η
3
f(η)，即F(1)=F(η)．
显然F(x)在[0，1]上可导，由罗尔中值定理得，存在
使得F"(ξ)=0，即
3ξ 2 f(ξ)+ξ 3 f"(ξ)=0，
即