解答题
18.求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．
【正确答案】f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．
第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．
由
f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．
第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，
方法： 即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2—2)，解方程组
由①，②→x=y，由③→z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④→x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=
．因此得驻点P1(—1，—1，0)，P2(1，1，0)，P3
计算得知f(P1)=3，f(P2)=7，f(P3)=f(P4)=
．
因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为
第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．
由
f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，
方法： 即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2—2)，解方程组
由①，②→x=y，由③→z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④→x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=
．因此得驻点P1(—1，—1，0)，P2(1，1，0)，P3计算得知f(P1)=3，f(P2)=7，f(P3)=f(P4)=
．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为
【答案解析】