【正确答案】 C

【答案解析】[解析] 本题考查的知识点是函数极限存在的概念．函数在某一点的极限存在，其极限值必为常数．本题的关键是设[*]，继而求出A值即可．
设[*]，则f(x)=x³+3x-A．
对等式两边取极限：[*]，即A=A-A，得A=2，所以f(x)=x³+3x-2，选C．
如果注意到f(x)是基本初等函数，在定义区间内是连续的，则[*]，因此f(x)=x³+3x-f(1)，只需将x=1代入式中即可得f(1)=1+3f(1)，所以f(1)=2，可知选项C是正确的．