问答题
设a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，且函数f(x)在[a
1
，a
n
]上n阶可导，c∈[a
1
，a
2
]且f(a
1
)=f(a
2
)=…=f(a
n
)=0.证明：存在ξ∈(a
1
，a
n
)，使得
【正确答案】
【答案解析】[证明] 当c=a
i
(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a
1
，a
n
)，结论成立；
设c为异于a 1 ，a 2 ，…，a n 的数，不妨设a 1 ＜c＜a 2 ＜…＜a n ．
令
构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a 1 )(x-a 2 )…(x-a n )，显然φ(x)在[a 1 ，a 2 ]上n阶可导，且φ(a 1 )=φ(c)=φ(a 2 )=…=φ(a n )=0，
由罗尔定理，存在
使得
在(a
1
，a
2
)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ
(n-1)
(x)在(a
1
，a
n
)内至少有两个不同零点，设为c
1
，c
2
∈(a
1
，a
n
)，使得φ
(n-1)
(c
1
)=φ
(n-1)
(c
2
)=0，
再由罗尔定理，存在ξ∈(c 1 ，c 2 )
(a
1
，a
2
)，使得φ
(n)
(ξ)=0.
而φ (n) (x)=f (n) (x)-n!k，所以f (n) (ξ)=n!k，从而有
设c为异于a 1 ，a 2 ，…，a n 的数，不妨设a 1 ＜c＜a 2 ＜…＜a n ．
令
构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a 1 )(x-a 2 )…(x-a n )，显然φ(x)在[a 1 ，a 2 ]上n阶可导，且φ(a 1 )=φ(c)=φ(a 2 )=…=φ(a n )=0，
由罗尔定理，存在
使得
在(a
1
，a
2
)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ
(n-1)
(x)在(a
1
，a
n
)内至少有两个不同零点，设为c
1
，c
2
∈(a
1
，a
n
)，使得φ
(n-1)
(c
1
)=φ
(n-1)
(c
2
)=0，
再由罗尔定理，存在ξ∈(c 1 ，c 2 )
(a
1
，a
2
)，使得φ
(n)
(ξ)=0.
而φ (n) (x)=f (n) (x)-n!k，所以f (n) (ξ)=n!k，从而有