从足够量的桃子、李子、橘子、柿子中选取2025个水果装成一车,要求选取的桃子的数量是5的倍数,李子数是7的倍数,橘子最多6个,柿子最多4个,桃子李子必须都有。问有多少种不同的装法?

【正确答案】 B
【答案解析】

根据题意,设选取的桃子数量为5x个,李子数为7y个,分类讨论如下:

①当橘子、柿子数量均为0时,则5x+7y=2025,根据倍数特性法,可知7y为5的倍数,则y可以为5、10······280、285,共57个,即有1×57=57种情况满足;

②当橘子、柿子数量共计1个时,满足的情况分别为(1、0),(0、1),共2种情况,则5x+7y=2024,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为4或者9,则y可以是2、7······282、287,共58个,即有2×58=116种情况满足;

③当橘子、柿子数量共计2个时,满足的情况分别为(2、0),(1、1),(0、2),共3种情况,则5x+7y=2023,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为3或者8,则y可以是4、9······284,共57个,即3×57=171种情况满足;

④当橘子、柿子数量共计3个时,满足的情况分别为(3、0),(2、1),(1、2),(0、3),共4种情况,则5x+7y=2022,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为2或者7,则y可以是1、6······281、286,共58个,即4×58=232种情况满足;

⑤当橘子、柿子数量共计4个时,满足的情况分别为(4、0),(3、1),(2、2),(1、3),(0、4),共5种情况,则5x+7y=2021,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为1或者6,则y可以是3、8······283、288,共58个,即5×58=290种情况满足;

⑥当橘子、柿子数量共计5个时,满足的情况分别为(5、0),(4、1),(3、2),(2、3),(1、4),共5种情况,则5x+7y=2020,根据倍数特性法,可知7y为5的倍数,则y可以为5、10······280、285,共57个,即有5×57=285种情况满足;

⑦当橘子、柿子数量共计6个时,满足的情况分别为(6、0),(5、1),(4、2),(3、3),(2、4),共5种情况,则5x+7y=2019,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为4或者9,则y可以是2、7······282、287,共58个,即有5×58=290种情况满足;

⑧当橘子、柿子数量共计7个时,满足的情况分别为(6、1),(5、2),(4、3),(3、4),共4种情况,则5x+7y=2018,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为3或者8,则y可以是4、9······284,共57个,即4×57=228种情况满足;

⑨当橘子、柿子数量共计8个时,满足的情况分别为(6、2),(5、3),(4、4),共3种情况,则5x+7y=2017,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为2或者7,则y可以是1、6······281、286,共58个,即3×58=174种情况满足;

⑩当橘子、柿子数量共计9个时,满足的情况分别为(6、3),(5、4),共2种情况,则5x+7y=2016,由于5x的尾数为0或者5,则7y的尾数为1或者6,则y可以是3、8······283,共57个,即2×57=114种情况满足;

⑪当橘子、柿子数量共计10个时,满足的情况有(6、4),有1种情况,则5x+7y=2015,根据倍数特性法,可知7y为5的倍数,则y可以为5、10······280、285,共57个,即有1×57=57种情况满足。

分类用加法,共有57+116+171+232+290+285+290+228+174+114+57=2014种不同的装法。

故正确答案为B。