解答题
17.用正交变换法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3－4χ2χ3为标准二次型．
【正确答案】f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，其中
由｜λE－A｜＝
＝(λ＋3)(λ＋3)2＝0得λ1＝－3，λ2＝λ3＝3．
由(－3E－A)X＝0得λ＝－3对应的线性无关的特征向量为α1＝
；
由(3E－A)X＝0得λ2＝λ3＝3对应的线性无关的特征向量为α2＝
，α3＝
，
将α2，α3正交化得
单位化得
则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX
由｜λE－A｜＝
＝(λ＋3)(λ＋3)2＝0得λ1＝－3，λ2＝λ3＝3．由(－3E－A)X＝0得λ＝－3对应的线性无关的特征向量为α1＝
；由(3E－A)X＝0得λ2＝λ3＝3对应的线性无关的特征向量为α2＝
，α3＝，将α2，α3正交化得
单位化得
则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX
【答案解析】