单选题
已知f(x)连续，∫
0
x
tf(x－t)dt=1－cosx．求∫
0
π／2
f(x)dx的值．
【正确答案】正确答案：要想求解定积分∫
0
π／2
f(x)dx，可以先求解被积函数的表达式．因为已知条件是有关积分上限的函数，必须通过求导，方可求出f(x)，或求出∫
0
x
f(t)dt亦可． 设u=x－t，则dt=－du．当t=0时，u=x；当t=x时，u=0．于是 1－cosx=∫
0
x
tf(x－t)dt=∫
0
x
(x－u)f(u)du=x∫
0
x
f(u)du－∫
0
x
uf(u)du． 将上式两端同时关于x求导，得 sinx=∫
0
x
f(u)du+xf(x)－xf(x)=∫
0
x
f(u)du． 由∫
0
x
f(u)du=sinx，令x=π／2，得∫
0
π／2
f(u)du=sinπ／2=1，因此∫
0
π／2
f(x)dx=1．
【答案解析】