三元二次型f＝X
T
AX经过正交变换化为标准形f＝y
1
2
＋y
2
2
一2y
3
2
，且A
*
＋2E的非零特征值对应的特征向量为
【正确答案】正确答案：因为f＝X
T
AX经过正交变换后的标准形为f＝y
1
2
＋y
2
2
一2y
3
2
，所以矩阵A的特征值为λ
1
＝λ
2
＝1，λ
3
＝一2．由｜A｜＝λ
1
λ
2
λ
3
＝一2得A
*
的特征值为μ
1
＝μ
2
＝一2，μ
3
＝1，从而A
*
＋2E的特征值为0，0，3，即α
1
为A
*
＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ
3
＝一2的特征向量． 令A的属于特征值λ
1
＝λ
2
＝1的特征向量为
，因为A为实对称矩阵，所以有α
1
T
α＝0，即x
1
＋x
3
＝0故矩阵A的属于λ
1
＝λ
2
＝1的特征向量为
，因为A为实对称矩阵，所以有α
1
T
α＝0，即x
1
＋x
3
＝0故矩阵A的属于λ
1
＝λ
2
＝1的特征向量为
【答案解析】