解答题
22.设f(χ)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)＝f(1)，又｜f〞(χ)｜≤M，证明：｜f′(χ)｜≤
【正确答案】由泰勒公式得
f(0)＝f(χ)＋f′(χ)(0－χ)＋
(0－χ)2，ξ∈(0，χ)，
f(1)＝f(χ)＋f′(χ)(1－χ)＋
(1－χ)2，η∈(χ，1)，
两式相减得f′(χ)＝
[f〞(ξ)χ2－f〞(η)(1－χ)2]，
取绝对值得｜f′(χ)｜≤
[χ2＋(1－χ)2]，
因为χ2≤χ，(1－χ)2≤1－χ，所以χ2＋(1－χ)2≤1，故｜f′(χ)｜≤
f(0)＝f(χ)＋f′(χ)(0－χ)＋
(0－χ)2，ξ∈(0，χ)，f(1)＝f(χ)＋f′(χ)(1－χ)＋
(1－χ)2，η∈(χ，1)，两式相减得f′(χ)＝
[f〞(ξ)χ2－f〞(η)(1－χ)2]，取绝对值得｜f′(χ)｜≤
[χ2＋(1－χ)2]，因为χ2≤χ，(1－χ)2≤1－χ，所以χ2＋(1－χ)2≤1，故｜f′(χ)｜≤
【答案解析】